快回老家了，闲来无事遇到了一些有趣的小问题，作为活跃思维的小菜还是挺好的。 \pi^e 和 e^\pi 谁大？ 这题是和同学讲批话时想到的。 主要体现了一个统一形式的想法，先说结论 e^\pi> \pi^e ，下面证明它。 即证：e^{\frac{1}{e}}>\pi^{\frac{1}{\pi}} 分析一下增减性：对 x^{\frac{1}{x}} 求导得 x^{\frac{1}{x}}\frac{1-\ln x}{x^2} ，求一下极值点发现也就 x=e 的时候行，再求个二阶导发现这是极大值，结论得证。 求 3^{2026} 十进制下的后四位 在 b 站上刷到的，看视频的做法是一个二项式蜜汁展开，评论区里全是快速幂硬算和“注意到”，其实结合一点数论可以很快得到一个好想且手算也简单的做法。 由欧拉定理：3^{\varphi(10^4)} \equiv 3^{10^4\cdot (1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})}\equiv 3^{4000}\equiv 1 \;(\bmod \;10^4) 故 3^{2000}\equiv 1 或 -1\;(\bmod \;10^4) 同样由欧拉定理：3^4\equiv 1\;(\bmod \;10) 可知 3^{2000}\equiv 1\;(\bmod \;10) 那么 3^{2000}\equiv 1\;(\bmod \;10^4) 接下来只需用手动快速幂计算 3^{26}\equiv 9^{13}\equiv 81^{6}\cdot 9\equiv 6561^{3}\cdot9 \equiv 8329\;(\bmod \;10^4) 嵌套 f(f(x))=x^2-x+1 ，求 f(0) 先把 x=0 代一发再说： f(f(0))=1 然后看到这种嵌套就手痒求了个不动点，x=1 ，此时 f(x)=1 或 ...