cover: Pixiv ID 141075191 三角函数 刷到飞哥的一道题。 求证： \sin\cos x<\cos\sin x 把柿子移到一边去，先求个导看看极值试试： \begin{aligned} (\cos\sin x-\sin\cos x)'&=0\\ \frac{\sin\sin x}{\sin x}&=\frac{\cos\cos x}{\cos x} \end{aligned} 没发现有啥用，换思路。试着对外层的三角函数处理一下，用诱导公式有 \sin\cos x-\sin(\frac{\pi}{2}-\sin x)<0 ，然后和差化积： 2\cos(\frac{\cos x-\sin x}{2}+\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\cos x+\sin x}{2}-\frac{\pi}{4})<0 。即 \sin(\frac{\sin x-\cos x}{2}+\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\cos x+\sin x}{2}-\frac{\pi}{4})<0 ，再来就是辅助角： \sin(\frac{\sin(x-\frac{\pi}{4})}{\sqrt 2}+\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\sin(x+\frac{\pi}{4})}{\sqrt 2}-\frac{\pi}{4})<0 ，借由 \sin 和 \cos 的周期性，只需要证明不等式在一个 2\pi 周期成立就行了，那么可知左边 \sin 里的柿子值域为 [-\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{\pi}{4},\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{\pi}{4}] ，右边的则是 [-\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\pi}{4},\frac{1}{\sqrt 2}-\frac{\pi}{4}] ，...